Остерегайтесь ошибок при численном решения проблем

Понять, как для обнаружения и предотвращения наиболее распространенных ошибок при использовании математических инструментов.

Внедрение математических пакетов, таких как Excel, MATLAB и ученый в области машиностроения решения проблем привело многие преимущества - главный среди них возможность получить moreprecise результаты быстрее. Однако, численные методы решения также представил новые источники ошибок, которые часто остаются незамеченными, если пользователь неопытный в использовании новых вычислительных средств.

Наиболее часто встречающиеся ошибки в регрессии данных происходит с использованием регрессионных моделей с слишком много или слишком мало параметров (1), установка полиномиальных моделей без должного масштабирования (стандартизации) данных, корреляция данных при модельных уравнений, которые неправильно линеаризованной (1), или опытно-конструкторских для получения данных, что не является удовлетворительным (2).

Есть много примеров в литературе описания потенциальных проблем, связанных с решением систем нелинейных алгебраических уравнений (НИС). Они включают в себя определение хорошими начальными догадками и правильно постановке задачи, с тем чтобы сходимости (3). Даже если не будет найдено решение, оно не может стать реальностью уже в физическом смысле (например, отрицательные концентраций), или оно может быть ложным решения, вызванные неправильным переменной и / или функции масштабирования.

Чаще всего источником ошибки при решении обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) является неизбирательное применение ошибок по умолчанию допуски ОДУ инструменты решатель (4). Отказ от использования надлежащего алгоритма интеграции (против жесткой без жесткой), небрежно округления чисел в модельных уравнений, используя модель вне сферы его действия, а также использование неадекватных резолюции, представляя результаты были зарегистрированы (I, 5) в качестве дополнительных общих источников ошибок в решении ОДУ

Зная о возможных причин ошибки при численном решении проблем является первым шагом в обнаружения и предотвращения таких ошибок. В этой статье рассматриваются три возможные причины ошибки, и предлагает средства для их предотвращения.

Не учитывались реальные проблемы неопределенности параметров

Важность проведения анализа чувствительности для определения воздействия малых изменений различных параметров, по решению проблемы была признана в области оптимизации. Значения параметров, как правило, содержат ошибки, и / или неопределенности, что делает информацию о чувствительности оптимальных для изменения или изменения параметров очень важно для оптимального процесса проектирования (6). Тем не менее, анализ чувствительности, редко проводится для других типов задач.

Этот пример демонстрирует важность анализа чувствительности при решении системы нелинейных алгебраических уравнений. В качестве примера было первоначально опубликовано на Froment и Бишофф (7), и ее решения с помощью Mathcad был представлен Parulekar (8).

Рассмотрим каталитического гидрирования олефинов (компонент) в изотермическом постоянно смешения реактора (смешения). Дифференциальных баланса массы на компонент дает:

где C ^ ^ к югу A0 является входным концентрация (моль / л), Контактная информация), и т ^ ^ к югу является скорость реакции на единицу объема реактора (моль / Ls):

Концентрации в стационарном состоянии запрашивается для условий эксплуатации: C ^ югу A0 = 13 моль / л, V = 10 л, а к югу V ^ 0 = 0,2 л / сек Поиск стационарное решение требует решения нелинейных алгебраических уравнений F (C ^ ^ к югу) = 0, где:

На рисунке 1, F (C ^ ^ к югу) изображена против C ^ ^ к югу в регионе 0

Число значащих цифр сообщили решения должны быть основаны, в данном случае, на неопределенности, связанной с параметрами.

В таблице 1 представлены значения C ^ ^ к югу для различных уровней неопределенности в расход, V ^ ^ 0 к югу. Если неопределенность 1 ^ 10 ^ -4 SUP L / с на себя и соответствующие расхода 0,2001 л / с используется вместо базовой 0,2 л / с, только первые две цифры из рассчитанных значений С. матч тех базовым случаем. Для неопределенности 10 ^ -3 SUP ^ L / S (V ^ югу 0 = 0,201 л / с), первые две корни содержат только один соответствующие цифры и наибольший корень два одинаковых цифр. Для неопределенности 10 ~ 2 л / с, нет ни одной правильной цифры в два первых корней и только один из крупнейших корень. Таким образом, рассматривая какой-либо реальной оценки неопределенности в расход приводит к выводу, что решения C ^ ^ к югу должна быть округлена до 2 значащих цифр, как и все дополнительные цифры являются неопределенными.

Важно понять, что этот анализ относится только к физическому величины, полученные в качестве окончательных результатов вычислений. В других случаях, округление может привести к значительным ошибкам. Это будет показано в следующем примере.

Значение расхода может быть указан один цифре, так как расход (в то или контролируется) с такой точностью. Таким образом, его стоимость может варьироваться от 0,15 л / с до 0,24 л / с В последних двух столбцах таблицы 1 приведены расчетные C ^ ^ к югу на две крайние значения V ^ ^ 0 к югу. Для V ^ югу 0 = 0,24 л / с, есть только один реальный корень на C ^ югу = 9,36922 моль / л, а при V0 = 0,15 л / с есть один действительный корень на C ^ югу = 0,3419 моль / л Таким образом, на этом уровне неопределенности, существует только один корень, а не три корня базы случае V ^ югу 0 = 0,2 л / с, а корень значительно варьируется в зависимости от значения V ^ ^ к югу 0 используется.

Использование ненадлежащего статистики и графического представления для анализа регрессионных моделей

Использование ненадлежащих статистических данных и графических представлений часто приводит к принятию неудовлетворительным модели регрессии. Это явление свидетельствует установки уравнением Клаузиуса-Клапейрона, чтобы давление насыщенного пара (P ^ V ^ к югу) данных для этана.

Давление паров данных, содержащая N = 107 очков, имеются (9) в интервале температур Т = 92 К (P ^ югу V = 1,7 Па) с помощью T = 304 K (P ^ югу V = 4,738 SUP ^ -6 Па). Это в основном охватывает диапазон жидкой фазы области между тройной точки температуры в этана (90,352 K) и ее критической температуры (305,32 K). Клаузиуса-Клапейрона считается нецелесообразным для моделирования давление пара над такими широком диапазоне температур, а это может быть обнаружена только определенных типов статистических данных и графических представлений.

Клаузиуса-Клапейрона определяется по формуле:

где А и В коэффициенты рассчитываются регрессии экспериментальных данных.

Рисунок 2 участка в (P ^ югу V ^) ^ ^ ехр югу против 1 / T наряду с прямой установки на данные, которые представлены:

у = 21,816 известково-1919.5x (5)

где х = 1 / T и ycalc = \ п (P ^ югу V ^) ^ ^ к югу известково

Коэффициент корреляции R ^ 2 ^ SUP, определяется следующим образом:

где Значение R ограничена 0

Другой широко применяемый графическое представление для проверки адекватности корреляция участок расчетное значение зависимой переменной, у ^ ^ известково к югу, по сравнению с экспериментальным значением, Ю. Подходящими дает прямую линию с наклоном, близким к 1,0.

На рисунке 3, Л. Н. (P ^ югу V ^) ^ ^ к югу известково (как рассчитывается по уравнению ClausiusClapeyron) изображена против Ln (P ^ югу V ^) ^ ^ ехр к югу. Данных точках, расположенных по прямой линии с наклоном 0,999 с небольшими отклонениями. Таким образом, этот тип представления также указывает на хорошее соответствие между Клаузиуса-Клапейрона, и давление пара данных во всем диапазоне. Однако, сравнивая Ln (P ^ югу V ^) ^ ^ к югу известково и В (P ^ югу V ^) ^ ^ ехр югу при определенной температуре рассказывает свою историю. Например, при T = 92 K, Ln (P ^ югу V ^) ^ к югу ехр = 0,53 и Ln (P ^ югу V ^) ^ к югу известково = 0,95, что примерно 80% разницы. Это не может рассматриваться в качестве адекватного представления экспериментальных данных.

Остаточных участок надлежащего графических средств для проверки благость соответствия между регрессионной модели и данных. Остаточных образца,

Случайном распределении остатков к нулю означает, что модель регрессии представляет данные правильно. Четкая тенденция или закономерность в остаточных участок может указывать на недостаток модели посадки к данным или, что предполагается, ошибка распределения данных (т.е. случайного распределения ошибку в V), является неверным. На рисунке 4, остаточная В (P ^ югу V ^) ^ ^ ехр югу - LN (P ^ югу V ^) ^ ^ к югу известково нанесен против В (P ^ югу V ^) ^ ^ ехр к югу. Очевидные тенденции (кривизны) в остатков показывает, что Клаузиуса-Клапейрона не может представлять данные надлежащим образом.

Careless округления параметров модели

Проектный институт по исследованию физических свойств (DIPPR) базы данных (10) рекомендует Ридель уравнения для моделирования данных давления пара. Ридель уравнения можно записать в виде:

где A, B, C, D и Е параметров регрессионной модели. Как правило, стоимость от устанавливается на 2, чтобы остальные параметры рассчитываются с помощью линейной регрессии. Используя ту же давление паров данных (9), следующие значения параметров были рассчитаны: A = 5.1857E 01, B =-2.5987E 03, C = -5. 1 283E 00. и D = 1 .49 1 3E-05.

Рисунок 5 участков остаточной Л. Н. (P ^ V ^ к югу), рассчитанная по уравнению Ридель использованием DlPPR значений параметров. Эти остатки, по крайней мере на порядок меньше, чем остатки полученных при Ln (P ^ югу V ^) была рассчитана по уравнению ClausiusClapeyron. Этот участок имеет два различных регионах. В первой области (до В (P ^ югу V) = 12), остатки находятся в диапазоне от -0,04 до 0,02 и не показывают какой-либо конкретной системы или направления. Во второй области (В (P ^ югу V ^)> 12), остаточная стоимость на порядок ниже, - все это абсолютная величина меньше, чем 0,003 - и показать четкую картину. Чтобы получить совершенно случайном распределении остатков, иное соотношение следует использовать, однако, повышение корреляции с помощью различного типа уравнения не входит в рамки данной статьи.

Хотя копировать и вставить функция очень удобно и экономит время вариант при передаче данных между базами данных и пакетов программного обеспечения, он может представить ошибок округления. Например, уравнение Ридель константы для различных соединений могут быть скопированы из базы данных DIPPR и вставлять в таблицу Excel, в которой хранятся значения так, как они появляются в базе данных DIPPR. Однако, если формат номера по умолчанию дисплей используется, они отображаются округляется до 2 или 3 знака после запятой: A = 5. 19E 01, B = 2.60E-03, C = -5. 1 3E 00. и D = 1 0,49 E-05. Когда эти ценности в дальнейшем копируются из Excel и вставить в документ или другое программное обеспечение, дополнительные цифры теряются.

Использование округленные значения параметров приводит к существенным ошибкам в расчетных значений давления пара. Рисунок 6 сравнивает остатков участки к югу P ^ V ^ рассчитывается с использованием точной и округленные значения параметра. При более высоких давлениях остаточного (ошибка), когда округленные значения параметра используется порядка 2,5% по сравнению с 0,3%, когда точные значения параметров используются. Таким образом, в данном примере, небрежным округления причины ошибки прогноза увеличить почти на порядок.

Экспорт данных имущества компьютерный код позволяет быстро и точно

Важно, чтобы упростить перенос данных из базы данных в программный код, чтобы минимизировать вероятность внесения ошибок в ходе этого процесса, в том числе непреднамеренных округления параметров модели.

Мы разработали интерфейс, который называется "DIPPR код", что позволяет осуществлять поиск DIPPR базы данных для конкретного соединения, маркировка заданными свойствами, и получить на выходе необходимые данные и корреляции в таком формате, который можно скопировать и вставить непосредственно в машинный код. Эрудит и MATLAB коды в настоящее время поддерживается и Excel код доступен через экспорт из эрудит. уравнений собственности корреляции кодируется в формате MATLAB может быть введен в программы, написанные в различных Языки компьютер с очень минимальными изменениями. Таким образом, DIPPR интерфейса кодекса позволяет DIPPR экспорта данных и уравнений для многих широко используемых программных пакетов.

Чтобы проиллюстрировать, скажем, мы используем эрудит, и мы должны давление паров этана в зависимости от температуры. DIPPR в Кодекс позволяет пользователю запрашивать DIPPR базы данных для отдельных видов химических и желаемого имущества; желаемой температуры может быть указан или температуры зависимость этого свойства может быть запрошена. Информации, предоставляемой в интерфейсе программы в формате эрудит давления паров этана показано в Таблице 2. Код, генерируемый интерфейс включает в себя корреляционных уравнений, определения постоянных значений и комментариев. (Каждый комментарий начинается с

Линия 1 является полное имя свойства и формула соединения (как комментарий), а линия 2 полное имя соединения. Линия 3 содержит информацию о надежности корреляции давления пара, который был получен из базы данных DlPPR. Линия 4 показан диапазон действия корреляции уравнения - нижняя температурная граница спектра действия (Min_T), верхний предел температуры (MaxT), имущества (давление паров, в данном случае) стоимости на нижний предел температуры ( Min_Val), и стоимости имущества на верхнем пределе температуры (Max_Val), - а также единиц величин (K для температуры и давления Па).

Полученное уравнение собственности корреляции для этана давление паров показано в строке 5. Расчетная величина давления пара вступила в переменную составила символа собственности (В. П. в данном случае) и химическую формулу соединения. Уравнение представлено в форме, которая легко передаваться в код ученый. Коэффициенты уравнения приведены в такое же количество цифр, которые хранятся в базе данных, поэтому нет ошибки округления вводится.

Заключительные мысли

Полное определение проблемы должно определить неопределенность в значении каждого из параметров, которые позволят определения неопределенности в растворе. Это, в свою очередь, указывает количество значащих цифр, которые будут использоваться в отчетности результатов. В конечном счете, это может быть выявлено, что предлагаемый процесс не должен быть реализован из-за уровня неопределенности, которые являются слишком высокими.

Коэффициент корреляции (R ^ 2 ^ SUP) и простой сюжет расчетных значений против экспериментальных значений может ввести в заблуждение при определении качественным подбором между данными и регрессионной модели. Остаточных участок является самым надежным средством для изучения качественным подбором.

Остерегайтесь ошибок округления, особенно непреднамеренные округления, что часто происходит при копировании и вставке данных между базами данных, документы и программы.

Надлежащее внимание на возможные причины ошибок представлены здесь и в предыдущих статьях (1-5) может существенно повысить достоверность результатов численного решения проблем и в соотношении данных регрессии.

ЛИТЕРАТУРА

1. Браунер, И. В. и др. /., "Вычислительная результатов; Насколько надежны они? - Системный подход к Модальные проверки", Chem. Engr. Образования, 30 (1), с. 20-25 (1996).

2. Шахам, М. и Н. Браунер, "Корреляционные и Over-Корреляция гетерогенных данных скорость реакции," Хим. Engr. Образования, 29 (1), с. 22-25, 45 (1995).

3 Шахам, М. Л. и др. /. ", Web-Based библиотека для тестирования производительности вычислительной программного обеспечения для решения нелинейных алгебраических уравнений", вычи. Химреагент Eng. 26 (4-5), с. 547-554 (2002).

4 Шахам, М., и др. ", я могу доверять этот пакет? - Упражнение в вычислительных проверки результатов", Chem. Engr. Образования, 42 (1), с. 53-59 (2008).

5. Шахам, М., и др.. ", Потенциальные ошибки в использовании общего программного обеспечения для интерактивного Цель Решение обыкновенных дифференциальных уравнений", Acta по немецкой Slovenica, 42 (1), с. 119-124 (1995).

6. Эдгар, TF, и др.., "Оптимизация химических процессов", вторая ред. McGraw-Hill, Нью-Йорк, NY (2001).

7. Фроман, GF, а KB Бишофф, "Химический анализ реактора и дизайн", вторая ред. М.: Мир, Хобокен, штат Нью-Джерси (1990).

8. Parulekar, SJ, "Численное решение задач Использование Mathcad в Бакалавриат Инженерное реакция", Chem. Engr. Образования, 40 (1), стр. 14 (2006).

9. Ингам, H., и др.., "Теплофизические свойства этана", J. Phys. Ссылка Данные, 20, стр. 275 (1991).

10. Роули, R.L., и. др. ", DIPPR сбор данных чисто химические свойства", проектно-конструкторский институт физических свойств (<a target="_blank" href="http://dippr.byu.edu" rel="nofollow"> http://dippr . byu.edu </ A>), Бригам Янг университет в г. Прово, Юта (2006).

Мордехай Шахам

Бен-Гуриона Univ.

Michael B. Катлип

Университет Коннектикут

Майкл Elly

Корпорация Intel

Мордехай Шахам является Бенджамин H. Swig профессор и заведующий кафедрой химической технологии в Бен-Гурион, Univ. в Негеве в Израиле (Телефон: (972) 8-6461481, факс: (972)-8-64729i6; Электронная почта: <a href="mailto:shacham@bgu.ac.il"> shacham@bgu.ac . Ира </>; сайте: <a target="_blank" href="http://www.bgu.ac.il/-shacham" rel="nofollow"> www.bgu.ac.il /-Шахам </ A>). Он также является председателем израильской межвузовского центра дистанционного обучения (IUCEL). Он является бывшим президентом и почетным членом Израильского института инженеров-химиков и получателем 2000 CACHE премии за выдающиеся достижения в вычислительной химических инженерное образование. Его исследовательские интересы включают анализ, моделирование и регрессионный данных, применяемых численных методов и прогнозирования и анализа последовательности физических свойств. Он имеет степень бакалавра и степень доктор технических наук из Техниона, израильский технологический институт.

Michael B. Катлип ли почетный профессор в области химической, материалы и биомолекулярных Технический отдел в Univ. штата Коннектикут, где он занимал пост главы департамента и директором отличием университет программа. Он служил в качестве председателя и председатель национальной программы Американского общества по инженерной педагогике (ASEE) Химические Технологии Div. и со-chalred школы ASEE Лето для химической инженерии факультета в 2002 году. В настоящее время его интересы включают в себя разработку общего программного обеспечения для численного решения задач и его применение в химической и биохимической инженерии. Катлип также управляющий директор эрудит программного обеспечения (<a target="_blank" href="http://www.polymath-software" rel="nofollow"> www.polymath программное обеспечение </ A>. Сот), которая разрабатывает и обеспечивает решение проблем программного обеспечения для высших учебных заведений и отдельных профессиональных и академических пользователей. Он степень бакалавра и магистра в области химического машиностроения штата Огайо Univ. и кандидат от Univ. Колорадо.

Майкл Элли занимала ряд высоких технологий и автоматизации позиции корпорации Intel в Израиле и в США, так как он пришел в компанию в 1996 году. Он имеет степень бакалавра и магистра делового администрирования градусов Бен-Гурион, Univ. в Негеве, где он получил премию декана Excellence, как часть своей дипломной работы развивающихся прикладного программного обеспечения для расчета термодинамических пар-жидкость моделей равновесия.